Aljabar Boolean dan Gerbang Logika-TI POLITALA MATDIS 1B

Aljabar Boole merupakan dasar teknologi digital seperti pada rangkaian pensaklaran, rangkaian digital, dan integrated circuit komputer; karena rangkaian elektronik di dalam komputer bekerja dengan mode bit.

George Boole seorang ilmuwan Inggris yang menemukan teori aljabar boole pada tahun 1854. Boole memaparkan aturan-aturan dasar logika yang kemudian dikenal sebagai logika boole yang dapat ditemukan dalam buku The Law of Thought. Aturan logika ini membentuk struktur matematika yang disebut aljabar boole.

Pada tahun-tahun berikutnya banyak ilmuwan yang memperlihatkan aljabar boole dalam berbagai bidang terutama teknologi digital. Salah satunya Claude Shannon yang merancang rangkaian sirkuit yang menerima masukan 0 dan 1, dengan menerapkan aljabar boole.

1. Hukum-Hukum Aljabar Boolean

Selain itu, ada beberapa operator aritmatika yang berubah pada aljabar boolean, yaitu :

X (Perkalian) = diganti dengan konjungsi/and

+ (Tambahan) = diganti dengan disjungsi/or

‘ (aksen) = diganti dengan negasi/ingkaran

2. Fungsi dan Ekspresi Aljabar Boolean

Secara aljabar, fungsi boole dapat dinyatakan dalam tabel kebenaran dan rangkaian logika. Jika fungsi boole dinyatakan dalam tabel kebenaran, maka untuk fungsi boole dengan n peubah, kombinasi dari nilai peubahnya sebanyak 2𝑛 .

Kedua fungsi boole dikatakan sama jika kedua ekspresi boole-nya ekivalen.Maksudnya ekivalen adalah kedua ekspresi boole tersebut tidak sama tetapi mempunyai nilai yang sama (menyatakan fungsi yang sama). Hal ini bisa dibuktikan dengan menggunakan tabel kebenaran atau dengan menurunkan ekspresi boole sampai mendapatkan ekspresi yang lain dengan menggunakan hukum-hukum yang terdapat pada aljabar boole.

3. Bentuk Kanonik

Ekspresi boole yang dinyatakan sebagai penjumlahan satu atau lebih minterm atau perkalian dari satu atau lebih maxterm disebut dalam bentuk kanonik. Suatu ekspresi boole n peubah 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 dinamakan minterm jika berbentuk

𝑥 1 ∧ 𝑥 2 ∧ … ∧ 𝑥 𝑛

dan dikatakan maxterm jika berbentuk

𝑥 1 ∨ 𝑥 2 ∨ … ∨ 𝑥 𝑛

dalam hal ini digunakan 𝑥 𝑖 yang menyatakan literal 𝑥𝑖 atau ~𝑥𝑖 . Sedangkan literal adalah ekspresi boole yang mengandung satu peubah atau komplemennya.

Jadi bentuk kanonik ada 2, yaitu:

1) Bentuk normal disjungtif (Penjumlahan dari hasil kali/Disjunctive Normal Form=DNF) Suatu ekspresi boole di dalam{{ 0,1} ,∨,∧,~} disebut DNF jika merupakan suatu join beberapa minterm. Misalnya: 𝑥 1 ∧ 𝑥 2𝑥 3, 𝑥 1 ∧ 𝑥2 ∧ 𝑥 3, dan 𝑥1 ∧ 𝑥2 ∧ 𝑥3.

2) Bentuk normal konjungtif (Perkalian dari hasil jumlah / Conjunctive Normal Form=CNF)Suatu ekspresi boole di dalam {{0,1} ,∨,∧,~} disebut CNF jika merupakan suatu meet beberapa maxterm. Misalnya (𝑥1 ∨ 𝑥2 ∨ 𝑥 3) ∧ (𝑥1 ∨ 𝑥 2 ∨ 𝑥 3) adalah suatu ekspresi boole dalam bentuk CNF dengan 2 maxterm.