Relasi-TI POLITALA MATDIS 1B

Kita misalkan E & F sebagai himpunan, hubungan antara himpunan E & himpunan F merupakan himpunan yang memiliki pasangan atau huruf/ angka yang berurutan,  tetapi  mengikuti aturan tertentu. Dengan demikian hubungan  biner R antar himpunan E dan F, merupakan himpunan  dari E × F / R ⊆(E × F).

Example:

Misal E  = {2, 4, 6} dan F = {2, 4, 6, 8 }. Jika didefinisikan relasi R dari E ke F  menggunakan aturan seperti, (e,fb) ∈ R jika faktor dari f, dan Seperti yang kalian pelajari sebelumnya atau yang sudah kalian ketahui,

 E × F menjadi :

E × F = {(2, 2), (2, 4), (2, 6), (2, 8), (4, 2), (4, 4), (4, 6), (4, 8), (6, 2), (6, 4), (6, 6), (6, 8)}

Jika menggunakan aturan relasi/ hubungan diatas, relasi R dari E  keF  yang mengikuti aturan tadi menjadi,

R = {(2, 2), (2, 4), (2, 6), (2, 8)}

Hubungan/Relasi bisa juga  terjadi hanya pada satu atau sebuah himpunan, yaitu hubungan  pada E,  di himpunan E, yang merupakan himpunan E × E

Example: 

Misal R a/ relasi pada E = {2, 3, 4, 8, 9} yang diumpamakan :

(x, y) ∈ R dan bila x habis dapat dibagi oleh y.

Relasi R pada E  yang menggikuti aturan tersebut a/ seperti dibawah ini.

R = {(2, 2), (4, 4), (4, 2), (8, 8), (8, 2), (8, 4), (3, 3), (9, 9), (9, 3)}

Example about Relation/ contoh relasi : 

 

E :NAMA, SUBYEK/ Domain

F :OBYEK/ Kodomain

R :Relasi atau hubungan antar makanan favorit

                        Sifat-Sifat Relasi 

Relasi atau hubungan pada himpunan punya suatu sifat, sifat-sifat yang ada seperti..

1. Refleksif (reflexive)

Suatu relasi R pada himpunan E disebut refleksif jika (e, e) ∈ Runtuk setiap e ∈ E. Dan bisa disebut juga hubungan relasi R pada himpunan E diketahui tidak refleksif jika e ∈ E dan begitu pula jika (a, a) ∉ R.

Example: 

Misalkan E = {1, 2, 3, 4}, 

dan sifat Relasi R adalah  ‘≤’ yang dimisalkan himpunan E, jadi

R = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 3), (3, 4), 

(4, 4)}

Kelihatan bukan jika  (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4) adalah bagian unsur dari R. Jika begitu R dinyatakan himpunan Refleksif

Example : 

Misalkan E = {2, 3, 4, 8, 9, 15}.

Jika kita misalkan relasi R yang ada di himpunan A memiliki aturan:

(e, f) ∈ R jika e faktor prima dari f

Perlu diteliti/ diketahuin jika(4, 4) ∉ R .

Jadi, jelas bahwa R tidak  dan bukan bersifat refleksif.

Sifat refleksif memiliki ciri khas dalam pembuktian suatu relasi, seperti:

• Relasi yang memiliki sifat refleksif memiliki matriks dengan unsur utamanya semua bernilai 1, atau m_ii = 1, untuk i = 1, 2, …, n,

• Relasi yang memiliki sifat refleksif jika dibuktikan dalam bentuk graf terarah jadi  di graf tersebut akan ditemukan sebuah  loop padasetiap simpulnya.

2. Simetri (symmetric) dan Anti Simetri (antisymmetric)

Suatu relasi R di himpunan E memiliki sifat simetri jika 

(e, f) ∈ R, jika setiap e, f ∈ E , jadi (e, f) ∈ R.

Suatu relasi R pada himpunan E dikatakan tidak simetri jika (e,f) ∈ R sementara itu (e, f) ∉ R.

Pada suatu relasi R dihimpunan E mempunyai anti simetri dan misalkan untuk setiap

 a, b ∈ A, (a, b) ∈ R dan (b, a) ∈ R diakui jika a = b.

    Perhatikan bila istilah/ definisi simetri dan anti simetri bukanlah berlawanan, karena suatu relasi  bisa punya kedua sifat itu sekaligus. tapi , suatu relasi tak bisa mempunyai  kedua sifat itu jika dia punya atau memiliki pasangan berurutan atau terurut dengan bentuk

 (a, b) yang mana a ≠ b.

example: 

Misal R adalah sebuah relasi di himpunan Riil, yang dinyatakan oleh :

e R f  bila  & hanya jika e – f ∈ Y.

Memeriksa atau menyatakan relasi R memiliki sifat simetri !

Misal e R f  jadi/ maka (e – f) ∈ Y, Sementara  (f – e) ∈ Z.

Dan bila menyatakan seperti ini R memiliki sifat simetri.

Example : 

Buktikan bila relasi  ‘≤’ adalah himpunan Z.  Yang bersifat anti simetri

Jadi jika e ≤ f dan f ≤ e berarti e = f.

Hasilnya adalah  ‘≤’ menjadi/ memiliki sifat anti simetri.

3. Transitif (transitive)

Sebuah atau suatu relasi atau hubungan  R pada himpunan E mempunyai sifat transitif bila

(a, b) ∈ R dan (b, c) ∈ R, maka (a, c) ∈ R, untuk a, b, c ∈ A.

example :

Misal E  = { 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, & relasi  dapat diartikan bila :

e R f  jikalau & hanya bila e membagi f, dimana e, f ∈ E

Dan bila kita perhatikan definisi relasi R yang terdapat pada himpunan E, jadi :

R = {(2, 2), (2, 4), (2, 6), (2, 8), (3, 3), (3, 6), (3, 9), (4, 4), (4, 8)}

Dan Bila (2, 4) ∈ R & (4, 8 ) ∈ R terbukti bila  (2, 8 ) ∈ R.

Dan relasi  R memiliki sifat transitif.

Example : 

R adalah relasi yang ada pada himpunan bilangan Riil N yang diketahui atau didefinisikan seperti:

R : E + f = 5, e, f ∈ E,

Dengan mengikuti relasi R pada himpunan E, jadi:

R = {(1, 4), (4, 1), (2, 3), (3, 2) }

Buktikan bila  (1, 4) ∈ R & (4, 1) ∈ R , terapi (1, 1) ∉ R.

Jika seperti ini relasi R bukan atau tidak memiliki sifat transitif.

Sifat transitif memiliki beberapa ciri didalam pembuktian satu relasi , misalkan, sifat transitif di graf yang terarah dinyatakan seperti:

Bila  ada  satu/ sebuah busur dari e ke f dan busur dari f  ke g, jadi  juga memiliki sebuah busur

Berarah/ diarahkan dari e ke g.

Dan saat/ bila  menyajikan suatu relasi transitif didalam bentuk matriks, sebuah relasi transitif tidak memiliki satu ciri khusus di matriksnya.