TI POLITALA MATDIS

LOGIKA MATEMATIKA DISKRIT

PROPOSISI, MENGKOMBINASIKAN PROPOSISI, TABEL KEBENARAN  DAN IMPLIKASI  

1.  Proposisi

       Di dalam matematika, tidak semua kalimat berhubungan dengan logika. Hanya kalimat yang bernilai benar atau salah  saja yang digunakan dalam penalaran. Kalimat tersebut dinamakan proposisi (preposition). 

       Proposisi adalah kalimat deklaratif yang bernilai benar (true) atau salah (false), tetapi tidak dapat sekaligus keduanya. Kebenaran atau kesalahan dari sebuah kalimat disebut nilai kebenarannya (truth value).

Ada beberapa contoh berikut yang dapat megilustrasikan kalimat yang mana proposisi dan yang mana yang bukan :

  a. 6 adalah bilangan genap.

  b. Soekarno adalah presiden Indonesia yang pertama.
  c. 2 + 2 = 4.
  d. Ibukota provinsi Jawa Barat adalah Semarang.
  e. 12 ≥ 19.
  f. Kemarin hari hujan.
  g. Suhu permukaan laut adalah 21 derajat Celsius.
  h. Pemuda itu tinggi.
  i. Kehidupan hanya di planet Bumi.

       Semua merupakan Proposisi. Proposisi a sampai c benar tetapi pada proposisi d itu salah karena ibukota Jawa Barat adalah Bandung dan Proposisi e juga salah seharusnya 12 ≤ 19. proposisi f sampai tidak dapat langsung dinyatakan benar karena kalimatnya mengandung salah atau benar tergantung suasana yang terjadi.

2.  Mengkombinasikan Proposisi

       Operator Logika merupakan Operator yang mengkombinasikan proposisi. Operator logika dasar yang digunakan adalah dan (and), atau (or) dan tidak (not). Dua operator pertama dinamakan operator biner karena operator tersebut mengoprasikan dua buah proposisi, sedangkan operator ketiga dinamakan operator uner karena ia hanya membutuhkan satu buah proposisi.

     Proposisi baru yang memperoleh dari pengkombinasian tersebut dinamakan proposisi mejemuk (compound proposition). Proposisi yang bukan merupakan kombinasi proposisi lain disebut proposisi atomik. Dengan kata lain roposisi majemuk disusun dari proposisi - proposisi atomik.

Proposisi majemuk ada tiga macam, yaitu konjungsi, disjungsi dan ingkaran. Ketiganya didefinisikan sebagai berikut :

 a. Konjungsi (conjungtion) p dan q, dinyatakan dengan notasi p ∧ q, adalah proposisi p dan q.
 b. Disjungsi (disjunction) p dan q, dinyatakan dengan notasi p ∨ q, adalah proposisi p atau q.
 c. Ingkaran atau (Negation) dari p, dinyatakan dengan notasi ~p, adalah proposisi tidak p.

3.  Tabel Kebenaran 

      Cara yang praktis untuk menentukan nilai kebenaran proposisi majemuk adala menggunakan tabel kebenaran (truth table). Tabel kebenaran menampilkan hubungan antara nilai kebenaran dari proposisi atomik. Pada tabel dibawah, T = True(benar) dan F = False(salah).

p	q	p ∧ q
T	T	T
T	F	F
F	T	F
F	F	F

p	q	p ∨ q
T	T	T
T	F	T
F	T	T
F	F	F

p	~q
T	F
F	T

Contoh :

Misalkan p dan q adalah proposisi. Proposisi majemuk p ∨ ~(p ∧ q) adalah sebuah tautologi karena kolom terakhir     pada  tabel kebenaran hanya memuat T, sedangkan (p ∧ q) ∧ ~(p ∨ q) adalah sebuah kontradiksi karena kolomterakhir pada tabel kebenarannya adalah F.

 Tautologi

p	q	p ∧ q	~(p ∧ q)	p ∨ ~(p ∧ q)
T	T	T	F	T
T	F	F	T	T
F	T	F	T	T
F	F	F	T	T

Kontradiksi

p	q	p ∧ q	p ∨ q	~(p ∨ q)	(p ∧ q) ∧ ~(p ∨ q)
T	T	T	T	F	F
T	F	F	T	F	F
F	T	F	T	F	F
F	F	F	F	T	F

Tabel kebenaran untuk proposisi ~(p ∧ q) dan proposisi ~p ∨~q. Kolom terakhir pada kedua tabel tersebut sama nilainya (yaitu F, T, T, T), sehinggakita katakan bahwa kedua proposisi tersebut ekivalen secara logika, atau ditulis sebagai~(p ∧ q) ⇔ ~p ∨ ~q.

p	q	p ∧ q	~(p ∧ q)		p	q	~p	~q	~p ∨ ~q
T	T	T	F		T	T	F	F	F
T	F	F	T		T	F	F	T	T
F	T	F	T		F	T	T	F	T
F	F	F	T		F	F	T	T	T

4.  Implikasi

       Selain dalam bentuk konjungsi, disjungsi, dan negasi, proposisi majemuk juga dapat muncul berbentuk “jika p, maka q”, seperti pada contoh-contoh berikut :  

a. Jika adik lulus ujian, maka ia mendapat hadiah dari ayah.
b. Jika suhu mencapai 80°C, maka alarm berbunyi.
c. Jika anda tidak mendaftar ulang, maka anda dianggap mengundurkan diri.

Pernyataan berbentuk “jika p, maka q” semacam itu disebut proposisi bersyarat
atau kondisional atau implikasi. 

       Misalkan p dan q adalah proposisi. Proposisi majemuk “jika p, maka q” disebut proposisi bersyarat (implikasi) dan dilambangkan dengan p → q. Proposisi p disebut hipotesis (atau antesenden atau premis atau kondisi) dan proposisi q disebut konklusi (atau konsekuen). Catatlah bahwa implikasi p → q hanya salah jika p benar tetapi q salah, selain itu implikasi bernilai benar.

p	q	p → q
T	T	T
T	F	F
F	T	T
F	F	T